Задание 23 ОГЭ по математике — геометрическая задача на вычисление

ТЕОРИЯ: Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Радиус окружности, половина хорды и расстояние от центра образуют прямоугольный треугольник.

ФОРМУЛА: \(R^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2\).

ШАГ 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник для хорды \(AB\): половина хорды равна \(15\), расстояние от центра \(d_1 = 20\). Найдём радиус окружности: \(R^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \implies R = 25\).

ШАГ 2. Для хорды \(CD\) её половина равна \(\frac{40}{2} = 20\).

ШАГ 3. Найдём расстояние \(d_2\) от центра до хорды \(CD\): \(d_2 = \sqrt{R^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\).

ОТВЕТ: 15

ТЕОРИЯ: Связь радиуса, длины хорды и расстояния от центра до хорды через теорему Пифагора.

ФОРМУЛА: \(R^2 = d_1^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = d_2^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2\).

ШАГ 1. Половина хорды \(AB\) равна \(20\). Вычислим квадрат радиуса: \(R^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841\).

ШАГ 2. Половина хорды \(CD\) равна \(21\).

ШАГ 3. Расстояние от центра до \(CD\): \(d_2 = \sqrt{841 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\).

ОТВЕТ: 20

ТЕОРИЯ: Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду на два равных отрезка.

ФОРМУЛА: \(d_2 = \sqrt{R^2 - \left(\frac{CD}{2}\right)^2}\).

ШАГ 1. Половина хорды \(AB\) равна \(18\). Квадрат радиуса: \(R^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\).

ШАГ 2. Половина хорды \(CD\) равна \(24\).

ШАГ 3. Расстояние до хорды \(CD\): \(d_2 = \sqrt{900 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18\).

ОТВЕТ: 18

ТЕОРИЯ: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен \(90^\circ\). Обратно: если вписанный угол равен \(90^\circ\), то хорда, на которую он опирается, является диаметром.

ФОРМУЛА: Если \(\angle PBK = 90^\circ\), то отрезок \(PK\) — диаметр окружности, следовательно, \(PK = BH\).

ШАГ 1. Точки \(P\), \(B\), \(K\) лежат на окружности с диаметром \(BH\).

ШАГ 2. Угол \(\angle PBK\) совпадает с углом \(\angle B\) исходного треугольника и равен \(90^\circ\).

ШАГ 3. Вписанный прямой угол опирается на диаметр \(PK\). Следовательно, \(PK = d = BH = 13\).

ОТВЕТ: 13

ТЕОРИЯ: Равенство диаметров окружности: любой диаметр окружности равен любому другому её диаметру.

ФОРМУЛА: \(PK = BH\).

ШАГ 1. Угол \(\angle PBK = 90^\circ\) является вписанным углом в данную окружность.

ШАГ 2. Значит, хорда \(PK\) служит диаметром этой окружности.

ШАГ 3. Так как \(BH\) — также диаметр окружности, получаем \(PK = BH = 14\).

ОТВЕТ: 14

ТЕОРИЯ: Отрезок, стягивающий прямой угол на окружности, является диаметром.

ФОРМУЛА: \(PK = BH\).

ШАГ 1. Вписанный угол \(\angle PBK = 90^\circ\) опирается на хорду \(PK\).

ШАГ 2. Дуга равна \(180^\circ\), значит хорда \(PK\) — диаметр.

ШАГ 3. Длина \(PK\) равна диаметру \(BH = 12\).

ОТВЕТ: 12

ТЕОРИЯ: Если из одной точки проведены касательная и секущая к окружности, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

ФОРМУЛА: \(AB^2 = AD \cdot AC\); диаметр \(d = AC - AD\).

ШАГ 1. Пусть окружность пересекает сторону \(AC\) в точке \(D\). По теореме о касательной и секущей: \(AB^2 = AD \cdot AC\).

ШАГ 2. Подставим числа: \(1^2 = AD \cdot 5 \implies AD = \frac{1}{5} = 0{,}2\).

ШАГ 3. Так как центр лежит на \(AC\), а \(C\) и \(D\) лежат на окружности, отрезок \(CD\) является диаметром: \(d = CD = AC - AD = 5 - 0{,}2 = 4{,}8\).

ОТВЕТ: 4.8

ТЕОРИЯ: Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

ФОРМУЛА: \(AD = \frac{AB^2}{AC}\); \(d = AC - AD\).

ШАГ 1. Найдём внешнюю часть секущей \(AD\): \(AD = \frac{2^2}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5\).

ШАГ 2. Диаметр окружности \(CD\) лежит на линии центров \(AC\).

ШАГ 3. \(d = 8 - 0{,}5 = 7{,}5\).

ОТВЕТ: 7.5