Задачи на треугольники: углы, стороны, медианы, биссектрисы, высоты, синус, косинус и тангенс.
Задача 1Тригонометрия в треугольнике
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 16, AB = 40. Найдите \(\sin B\).
Показать ответ
Ответ: 0.4
Решение
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{40} = 0.4\]Ответ: 0.4
Задача 2Площадь треугольника
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
Показать ответ
Ответ: 198
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:
\[S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 198\]Ответ: 198
Задача 3Элементы треугольника
В треугольнике ABC известно, что AC = 14, BM — медиана, BM = 10. Найдите AM.
Показать ответ
Ответ: 7
Решение
Медиана BM по определению делит сторону AC пополам на равные отрезки AM и MC:
\[AM = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\](Значение длины медианы BM = 10 является избыточным данным).
Ответ: 7
Задача 4Углы в треугольнике
В треугольнике два угла равны 48° и 65°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Показать ответ
Ответ: 67
Решение
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Третий угол равен:
\[180^\circ - (48^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ\]Ответ: 67
Задача 5Тригонометрия в треугольнике
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите \(\sin B\).
Показать ответ
Ответ: 0.6
Решение
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
\[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6\]Ответ: 0.6
Задача 6Площадь треугольника
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Показать ответ
Ответ: 198
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:
\[S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 22 = 198\]Ответ: 198
Задача 7Элементы треугольника
В треугольнике ABC известно, что AC = 34, BM — медиана, BM = 10. Найдите AM.
Показать ответ
Ответ: 17
Решение
Медиана BM по определению делит сторону AC пополам на равные отрезки AM и MC:
\[AM = \frac{AC}{2} = \frac{34}{2} = 17\](Значение длины медианы BM = 10 является избыточным данным).
Ответ: 17
Задача 8Углы в треугольнике
В треугольнике два угла равны 72° и 42°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Показать ответ
Ответ: 66
Решение
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Третий угол равен:
\[180^\circ - (72^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ\]Ответ: 66