Текстовая задача на движение, работу, смеси или проценты с полным решением.
Задача 1Текстовые задачи
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Показать ответ
Ответ: 8.7
Решение
ТЕОРИЯ: Масса чистого вещества в растворе равна произведению массы раствора на его концентрацию (долю вещества). При смешивании массы растворов и массы чистого вещества складываются.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{в}} = m \cdot c\); при смешивании равных масс: \(c_{\text{ср}} = \frac{c_1 + c_2}{2}\).
ШАГ 1. Пусть \(x\) и \(y\) — концентрации первого и второго растворов. Из условия о смешивании равных масс: \(\frac{x + y}{2} = 0{,}61 \implies x + y = 1{,}22 \implies y = 1{,}22 - x\).
ШАГ 2. Запишем уравнение для смеси 10 кг и 16 кг раствора: \(10x + 16y = 0{,}55 \cdot (10 + 16) \implies 10x + 16(1{,}22 - x) = 14{,}3\).
ШАГ 3. Решим линейное уравнение: \(10x + 19{,}52 - 16x = 14{,}3 \implies -6x = -5{,}22 \implies x = 0{,}87\). Масса кислоты в первом растворе: \(10 \cdot 0{,}87 = 8{,}7\) кг.
ОТВЕТ: 8.7
Задача 2Текстовые задачи
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Показать ответ
Ответ: 2.6
Решение
ТЕОРИЯ: Концентрация смеси равных объёмов равна среднему арифметическому концентраций исходных растворов.
ФОРМУЛА: \(x + y = 2 \cdot c_{\text{равн}}\); \(m_1 x + m_2 y = c_{\text{общ}} (m_1 + m_2)\).
ШАГ 1. Из условия о равных массах: \(x + y = 2 \cdot 0{,}60 = 1{,}20 \implies y = 1{,}20 - x\).
ШАГ 2. Составим уравнение для 4 кг и 16 кг: \(4x + 16(1{,}20 - x) = 0{,}57 \cdot 20 \implies 4x + 19{,}2 - 16x = 11{,}4\).
ШАГ 3. Найдём \(x\): \(-12x = -7{,}8 \implies x = 0{,}65\). Масса кислоты в первом сосуде: \(4 \cdot 0{,}65 = 2{,}6\) кг.
ОТВЕТ: 2.6
Задача 3Текстовые задачи
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
Показать ответ
Ответ: 2
Решение
ТЕОРИЯ: Составление системы линейных уравнений для массы растворенного вещества.
ФОРМУЛА: \(x + y = 2 \cdot 0{,}47 = 0{,}94\).
ШАГ 1. Выразим \(y\): \(y = 0{,}94 - x\).
ШАГ 2. Подставим в уравнение смеси: \(40x + 20(0{,}94 - x) = 0{,}33 \cdot 60 \implies 20x + 18{,}8 = 19{,}8\).
ШАГ 3. Найдём \(x\): \(20x = 1{,}0 \implies x = 0{,}05\). Масса кислоты в первом сосуде: \(40 \cdot 0{,}05 = 2\) кг.
ОТВЕТ: 2
Задача 4Текстовые задачи
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Показать ответ
Ответ: 62
Решение
ТЕОРИЯ: При сушке испаряется только вода, масса сухого (питательного) вещества остаётся неизменной.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{сух.вещ}} = m_{\text{свеж}} \cdot (1 - \omega_{\text{воды 1}}) = m_{\text{высуш}} \cdot (1 - \omega_{\text{воды 2}})\).
ШАГ 1. Найдём процент сухого вещества в свежих фруктах: \(100\% - 86\% = 14\%\). Масса сухого вещества: \(341 \cdot 0{,}14 = 47{,}74\) кг.
ШАГ 2. В высушенных фруктах сухое вещество составляет: \(100\% - 23\% = 77\%\).
ШАГ 3. Вычислим массу высушенных фруктов: \(\frac{47{,}74}{0{,}77} = 62\) кг.
ОТВЕТ: 62
Задача 5Текстовые задачи
Свежие фрукты содержат 85% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
Показать ответ
Ответ: 75
Решение
ТЕОРИЯ: Масса сухого остатка инвариантна относительно процесса испарения воды.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{высуш}} = \frac{m_{\text{свеж}} \cdot (100\% - W_1)}{100\% - W_2}\).
ШАГ 1. Доля сухого вещества в свежих: \(100\% - 85\% = 15\%\). Масса сухого остатка: \(420 \cdot 0{,}15 = 63\) кг.
ШАГ 2. Доля сухого вещества в сухих: \(100\% - 16\% = 84\%\).
ШАГ 3. Масса сухих фруктов: \(\frac{63}{0{,}84} = 75\) кг.
ОТВЕТ: 75
Задача 6Текстовые задачи
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
Показать ответ
Ответ: 95
Решение
ТЕОРИЯ: Расчёт выхода готового сухого продукта через постоянную массу сухого вещества.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{сух}} = \frac{420 \cdot 0{,}19}{0{,}84}\).
ШАГ 1. Масса сухого вещества в свежих фруктах: \(420 \cdot (1 - 0{,}81) = 420 \cdot 0{,}19 = 79{,}8\) кг.
ШАГ 2. Доля сухого вещества в высушенных фруктах: \(1 - 0{,}16 = 0{,}84\).
ШАГ 3. Масса высушенных фруктов: \(\frac{79{,}8}{0{,}84} = 95\) кг.
ОТВЕТ: 95
Задача 7Текстовые задачи
Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Показать ответ
Ответ: 288
Решение
ТЕОРИЯ: Определение массы сырья по заданной массе конечного сухого продукта через постоянную массу сухого остатка.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{свеж}} = \frac{m_{\text{высуш}} \cdot (1 - W_2)}{1 - W_1}\).
ШАГ 1. В 72 кг высушенных фруктов содержится сухого вещества: \(72 \cdot (1 - 0{,}16) = 72 \cdot 0{,}84 = 60{,}48\) кг.
ШАГ 2. В свежих фруктах доля сухого вещества составляет: \(1 - 0{,}79 = 0{,}21\).
ШАГ 3. Масса необходимых свежих фруктов: \(\frac{60{,}48}{0{,}21} = 288\) кг.
ОТВЕТ: 288
Задача 8Текстовые задачи
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
Показать ответ
Ответ: 228
Решение
ТЕОРИЯ: Обратная задача на процентное содержание влаги в продуктах.
ФОРМУЛА: \(m_{\text{свеж}} \cdot 0{,}14 = 42 \cdot 0{,}76\).
ШАГ 1. Масса сухого вещества в готовом продукте: \(42 \cdot (1 - 0{,}24) = 42 \cdot 0{,}76 = 31{,}92\) кг.
ШАГ 2. Доля сухого вещества в свежем сырье: \(1 - 0{,}86 = 0{,}14\).
ШАГ 3. Требуемая масса свежих фруктов: \(\frac{31{,}92}{0{,}14} = 228\) кг.
ОТВЕТ: 228