Задание 19 ОГЭ по математике — анализ геометрических высказываний

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон» — ВЕРНО.
У квадрата все стороны равны, а смежные стороны перпендикулярны. Если длина стороны равна \(a\), то произведение двух смежных сторон равно \(a \cdot a = a^2\), что в точности совпадает с площадью квадрата.

2) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника» — НЕВЕРНО.
Основания трапеции параллельны, но имеют разную длину (\(a \ne b\)). Диагональ делит трапецию на два треугольника, у одного из которых стороной является верхнее основание, а у другого — нижнее. Треугольники с неравными сторонами не могут быть равными.

3) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — НЕВЕРНО.
По первому признаку равенства треугольников равными должны быть не только две стороны, но и угол между ними.

Ответ: 1

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Все углы ромба равны» — НЕВЕРНО.
У ромба равны только противоположные углы. Все углы равны (по \(90^\circ\)) исключительно у частного случая ромба — квадрата.

2) «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны» — НЕВЕРНО.
Четырёхугольник не является жёсткой фигурой. Например, квадрат и ромб с одинаковыми сторонами \(a\) имеют равные стороны, но разные углы и площади, поэтому они не равны.

3) «Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности» — ВЕРНО.
Из любой точки, лежащей вне круга, к окружности всегда можно провести ровно две касательные, причём отрезки этих касательных от данной точки до точек касания равны.

Ответ: 3

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой» — НЕВЕРНО.
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Если один угол прямой (\(90^\circ\)), то и второй угол прямой (\(90^\circ\)), то есть ни один из них не является острым или тупым.

2) «Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон» — ВЕРНО.
Смежные стороны квадрата равны \(a\), а площадь \(S = a \cdot a = a^2\).

3) «Все хорды одной окружности равны между собой» — НЕВЕРНО.
Длина хорды зависит от расстояния от центра окружности до неё: от сколь угодно малых величин до диаметра (наибольшей хорды).

Ответ: 2

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу» — ВЕРНО.
Это фундаментальное определение окружности: геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от центра на заданное расстояние (радиус).

2) «Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту» — НЕВЕРНО.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h.\]
3) «Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует» — ВЕРНО.
По неравенству треугольника сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Здесь: \[1 + 2 = 3 < 4,\] неравенство нарушено, поэтому такой треугольник построить нельзя.

Ответ: 13

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны» — НЕВЕРНО.
Равенство трёх углов гарантирует только подобие треугольников, но не их равенство. Например, равносторонние треугольники со сторонами 1 и 10 имеют одинаковые углы по \(60^\circ\), но очевидно не равны.

2) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой» — ВЕРНО.
Это аксиома параллельных прямых Евклида (такую прямую провести можно, причём только одну).

3) «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу» — ВЕРНО.
Следует напрямую из определения окружности.

Ответ: 23

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон» — ВЕРНО.
Площадь треугольника равна: \[S = \frac{1}{2} a b \sin\gamma.\] Так как \(\sin\gamma \le 1\), то \(S \le \frac{1}{2} a b < a b\).

2) «Средняя линия трапеции равна сумме её оснований» — НЕВЕРНО.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(m = \frac{a + b}{2}\).

3) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — ВЕРНО.
Это формулировка первого признака подобия треугольников.

Ответ: 13

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника» — НЕВЕРНО.
Центр лежит внутри только у остроугольного треугольника. У прямоугольного он лежит на середине гипотенузы, а у тупоугольного — вне треугольника.

2) «Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам» — ВЕРНО.
Сумма углов абсолютно любого треугольника на евклидовой плоскости равна \(180^\circ\).

3) «Диагонали ромба равны» — НЕВЕРНО.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, но равны между собой только в том случае, если ромб является квадратом.

Ответ: 2

Подробный анализ каждого утверждения:

1) «Все хорды одной окружности равны между собой» — НЕВЕРНО.
Хорды могут иметь совершенно любую длину от \(0\) до диаметра \(2R\).

2) «Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника» — НЕВЕРНО.
Треугольники имеют одно общее ребро (диагональ) и равные боковые стороны, но их третьи стороны — это основания трапеции, которые не равны (\(a \ne b\)). Значит, треугольники не равны.

3) «Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам» — ВЕРНО.
Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\).

Ответ: 3