Задание 9 ЕГЭ профиль — производная и первообразная: геометрический и физический смысл, графики

Решение:
Шаг 1. Выберем две точки с целыми координатами на касательной: \(A(-3; 2)\) и \(B(2; 0)\).
Шаг 2. Найдём угловой коэффициент касательной \(k\) как отношение изменения ординаты к изменению абсциссы: \(k = \frac{0 - 2}{2 - (-3)} = \frac{-2}{5} = -0.4\).
Шаг 3. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то \(f'(x_0) = -0.4\).

Решение:
Шаг 1. Нам даны четыре отмеченные точки: \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 3\) и \(x_4 = 4\).
Шаг 2. Производная функции наименьшая (наибольшая по модулю отрицательная величина) в той точке, где функция убывает наиболее интенсивно (наиболее крутой спуск).
Шаг 3. Из отмеченных точек самый крутой спуск графика вниз происходит в точке \(x_1\). Координата этой точки по оси X равна -2. В ответ вводим координату.

Решение:
Шаг 1. Нам даны четыре отмеченные точки: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\) и \(x_4 = 4\).
Шаг 2. Производная функции наибольшая в той точке, где график функции возрастает круче всего.
Шаг 3. Из отмеченных точек самый резкий подъём графика функции вверх наблюдается в точке \(x_2\). Координата этой точки по оси X равна 1. В ответ вводим координату.

Решение:
Шаг 1. Проанализируем положение графика производной на отрезке \([-5; -2]\). Он лежит строго выше оси X, значит, производная функции положительна на всём отрезке.
Шаг 2. Если производная положительна на всём отрезке, то функция \(f(x)\) строго возрастает на нём.
Шаг 3. Так как функция возрастает, своего наименьшего значения она достигает в начале отрезка: \(x = -5\).

Решение:
Шаг 1. Производная функции положительна на интервалах её возрастания (где график идёт вверх).
Шаг 2. Из отмеченных точек на возрастающих участках лежат только 2 точки: \(x_3\) и \(x_6\).
Шаг 3. Таким образом, количество таких точек равно 2.

Решение:
Шаг 1. Точки экстремума функции соответствуют точкам, в которых её производная равна нулю (график пересекает ось X).
Шаг 2. На отрезке \([-17; -4]\) график производной пересекает ось X ровно 4 раза.
Шаг 3. Следовательно, количество точек экстремума равно 4.

Решение:
Шаг 1. Корни уравнения \(f'(x) = 0\) соответствуют точкам экстремума (локальным максимумам и минимумам) исходной функции \(f(x)\).
Шаг 2. Найдём эти точки на графике как вершины «холмов» и «впадин» внутри зеленого интервала \([-7; 2]\).
Шаг 3. Таких экстремальных точек ровно 5.

Решение:
Шаг 1. Выберем две точки с целыми координатами на касательной: \(A(-2; -1)\) и \(B(3; 7)\).
Шаг 2. Найдём угловой коэффициент \(k\) прямой: \(k = \frac{7 - (-1)}{3 - (-2)} = 1.6\).
Шаг 3. Значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равно угловому коэффициенту касательной, то есть \(f'(x_0) = 1.6\).