Задача на вычисление по готовой формуле из физики или экономики: подставить данные и решить получившееся уравнение или неравенство.
Задача 1Равноускоренное движение
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0 = 60\) км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a = 18\) км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S = v_0t + \frac{at^2}{2}\), где \(t\) — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.
Показать ответ
Ответ: 20
Решение
Теория:Нахождение времени движения точки при равноускоренном разгоне с известным начальным положением и скоростью. Формула:\(S = v_0t + \frac{at^2}{2}\). Шаг 1.Подставим заданные значения в физический закон: \(21 = 60t + \frac{18t^2}{2}\). Шаг 2.Упростим полученное квадратное уравнение: \(9t^2 + 60t - 21 = 0 \Rightarrow 3t^2 + 20t - 7 = 0\). Шаг 3.Найдем корни через дискриминант: \(D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 484 = 22^2\). Положительный корень \(t = \frac{-20 + 22}{6} = \frac{1}{3}\) часа. Шаг 4.Переведем полученное время из часов в минуты: \(\frac{1}{3} \cdot 60 = 20\) минут.
Задача 2Бросок под углом к горизонту
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t) = 1,6 + 13t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?
Показать ответ
Ответ: 1.8
Решение
Теория:Определение временного интервала нахождения тела выше заданной отметки через квадратное неравенство. Формула:\(h(t) \ge 6\). Шаг 1.Составим математическую модель: \(1,6 + 13t - 5t^2 \ge 6\). Шаг 2.Перенесем все члены в левую часть и поменяем знаки: \(5t^2 - 13t + 4,4 \le 0\). Шаг 3.Найдем точки пересечения параболы с осью времени: \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4,4 = 81 = 9^2\). Границы интервала равны \(t_1 = \frac{13 - 9}{10} = 0,4\) с и \(t_2 = \frac{13 + 9}{10} = 2,2\) с. Шаг 4.Вычислим длительность нахождения мяча на этой высоте как разность двух моментов времени: \(\Delta t = 2,2 - 0,4 = 1,8\) секунд.
Задача 3Истечение жидкости
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону \(H(t) = at^2 + bt + H_0\), где \(H\) — высота столба воды в метрах, \(H_0 = 8\) м — начальный уровень воды, \(a = \frac{1}{72}\) м/мин² и \(b = -\frac{2}{3}\) м/мин — постоянные, \(t\) — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?
Показать ответ
Ответ: 24
Решение
Теория:Расчет времени полного опустошения резервуара. Вода вытечет полностью, когда высота столба станет равна нулю. Формула:\(at^2 + bt + H_0 = 0\). Шаг 1.Подставим все числовые коэффициенты в квадратное уравнение: \(\frac{1}{72}t^2 - \frac{2}{3}t + 8 = 0\). Шаг 2.Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на 72: \(t^2 - 48t + 576 = 0\). Шаг 3.Заметим в левой части формулу квадрата разности: \((t - 24)^2 = 0\). Шаг 4.Отсюда находим единственное физическое решение уравнения: \(t = 24\) минуты.
Задача 4Тепловые приборы
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: \(T(t) = T_0 + bt + at^2\), где \(t\) — время (в мин.), \(T_0 = 1600\) К, \(a = -5\) К/мин², \(b = 105\) К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Показать ответ
Ответ: 3
Решение
Теория:Определение момента времени достижения критического температурного порога. Нам необходимо зафиксировать точку первого достижения порогового значения. Формула:\(T_0 + bt + at^2 = 1870\). Шаг 1.Составим квадратное уравнение по условию задачи: \(1600 + 105t - 5t^2 = 1870\). Шаг 2.Перенесем всё в одну сторону и разделим на коэффицент \(-5\): \(t^2 - 21t + 54 = 0\). Шаг 3.По теореме Виета находим два корня: \(t_1 = 3\) мин и \(t_2 = 18\) мин. Шаг 4.Анализируем физический процесс: прибор нагревается, и уже на 3-й минуте температура достигнет 1870 К, после чего начнется опасный перегрев. Значит, выключить прибор нужно через 3 минуты.
Задача 5Равноускоренное вращение
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \(\omega = 15\) град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta = 6\) град./мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \(\varphi\) достиг 2250°. Ответ дайте в минутах.
Показать ответ
Ответ: 25
Решение
Теория:Нахождение времени работы вращательного механизма по известному углу поворота и параметрам ускорения. Формула:\(\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}\). Шаг 1.Подставим исходные числовые данные в формулу: \(2250 = 15t + \frac{6t^2}{2}\). Шаг 2.Упростим правую часть и перенесем все слагаемые: \(3t^2 + 15t - 2250 = 0\). Шаг 3.Разделим полученное уравнение на 3 для облегчения счета: \(t^2 + 5t - 750 = 0\). Шаг 4.Вычислим дискриминант: \(D = 25 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 3025 = 55^2\). Находим корни: \(t = \frac{-5 + 55}{2} = 25\) минут (отрицательный корень отбрасываем).
Задача 6Равнозамедленное движение
Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0 = 24\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a = 3\) м/с². За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S = v_0t - \frac{at^2}{2}\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
Ответ: 6
Решение
Теория:Нахождение времени торможения транспортного средства. Физическая формула пути торможения адекватна только до момента полной остановки объекта. Формула:\(v_0t - \frac{at^2}{2} = S\). Шаг 1.Подставим численные значения: \(24t - \frac{3t^2}{2} = 90 \Rightarrow 1,5t^2 - 24t + 90 = 0\). Шаг 2.Разделим уравнение на 1,5: \(t^2 - 16t + 60 = 0\). По теореме Виета получаем два математических корня: \(t_1 = 6\) с и \(t_2 = 10\) с. Шаг 3.Определим время до полной остановки автомобиля по формуле скорости: \(v = v_0 - at = 0 \Rightarrow 24 - 3t = 0 \Rightarrow t = 8\) секунд. Шаг 4.Так как автомобиль останавливается на 8-й секунде и далее стоит на месте, корень \(t = 10\) не имеет физического смысла. Выбираем корень \(t = 6\) секунд.
Задача 7Закон Стефана-Больцмана
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P = \sigma ST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды (в Вт), \(\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}\) Вт/(м² · К⁴) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды (в м²), а \(T\) — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac{1}{2401} \cdot 10^{22}\) м², а мощность её излучения равна \(5,7 \cdot 10^{26}\) Вт. Найдите темупературу этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.
Показать ответ
Ответ: 7000
Решение
Теория:Работа со степенными выражениями больших порядков в рамках астрофизического закона.Формула:\(T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}\). Шаг 1.Внесем константы и значения в формулу: \(5,7 \cdot 10^{26} = 5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22} \cdot T^4\). Шаг 2.Сократим обе части равенства на общий множитель \(5,7\) и объединим степени десятки: \(10^{26} = 10^{14} \cdot \frac{1}{2401} \cdot T^4\). Шаг 3.Выделим переменную четвертой степени: \(T^4 = 2401 \cdot 10^{12}\). Шаг 4.Извлечем корень четвертой степени, учитывая, что \(2401 = 7^4\): \(T = \sqrt[4]{7^4 \cdot (10^3)^4} = 7 \cdot 10^3 = 7000\) Кельвинов.
Задача 8Оптические линзы
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}\). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 36
Решение
Теория:Анализ дробно-рациональной зависимости по формуле тонкой линзы для поиска экстремума функции.Формула:\(\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}\). Шаг 1.Выразим из уравнения переменную \(d_1\): \(d_1 = \frac{30d_2}{d_2 - 30} = 30 + \frac{900}{d_2 - 30}\). Шаг 2.Исследуем поведение функции: чтобы минимизировать величину \(d_1\), нам нужно максимизировать знаменатель дроби, то есть взять наибольшее возможное расстояние \(d_2\). Шаг 3.Подставим максимальное значение из интервала экрана \(d_2 = 180\) см: \(d_1 = 30 + \frac{900}{180 - 30} = 30 + 6 = 36\) см. Шаг 4.Убедимся, что полученное значение входит в рамки условий для лампы (от 20 до 40 см). Число 36 подходит.