Задание 14 ЕГЭ профиль по математике — уравнения с отбором корней: тригонометрические, показательные, логарифмические

Теория:Перепишем уравнение, выразив степени через \(2^x\): \((2^x)^3 - 12 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} = 0\).Шаг 1.Пусть \(t = 2^x > 0\). Тогда уравнение принимает вид: \(t^3 - 12t + \frac{32}{t} = 0 \iff t^4 - 12t^2 + 32 = 0\).Шаг 2.Пусть \(u = t^2 > 0\). Имеем биквадратное уравнение: \(u^2 - 12u + 32 = 0 \iff (u - 4)(u - 8) = 0 \iff u = 4, \ u = 8\).Шаг 3.Обратная замена: 1) \(t^2 = 4 \implies t = 2 \implies 2^x = 2 \implies x = 1\); 2) \(t^2 = 8 \implies t = \sqrt{8} = 2^{1.5} \implies 2^x = 2^{1.5} \implies x = 1.5\).Шаг 4.Проверим принадлежность корней отрезку. Так как \(5 > 4 \implies \log_4 5 > 1\), корень \(x = 1\) не входит в отрезок. Число \(1.5 = \log_4 8\), и так как \(8 > 5\), то \(\log_4 8 > \log_4 5\). Также \(1.5 = \sqrt{2.25} < \sqrt{3}\). Значит, \(x = 1.5\) принадлежит отрезку.

Теория:Применим формулу приведения для синуса: \(\sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x\), откуда \(\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos^2 x\). Также раскроем синус двойного угла.Шаг 1.Уравнение примет вид: \(2\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0 \iff 2\cos x(\sqrt{3}\cos x + \sin x) = 0\).Шаг 2.Разложим на два случая: 1) \(\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}\); 2) \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \iff \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отберем корни на отрезке \([-4\pi; -2.5\pi]\). Из первой серии при \(k = -4\) получаем \(-\frac{7\pi}{2}\), при \(k = -3\) получаем \(-\frac{5\pi}{2}\). Из второй серии при \(n = -3\) получаем \(-\frac{10\pi}{3}\).

Теория:Используем формулу приведения: \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\). Раскроем косинус двойного угла через косинус: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\).Шаг 1.Уравнение примет вид: \((2\cos^2 x - 1) + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 \iff \cos x(2\cos x + \sqrt{3}) = 0\).Шаг 2.Равносильно совокупности: 1) \(\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}\); 2) \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отбор корней на отрезке \([-3\pi; -1.5\pi]\): из первой серии подходят \(-\frac{5\pi}{2}\) (при \(k=-3\)) и \(-\frac{3\pi}{2}\) (при \(k=-2\)). Из второй серии подходит только \(x = -\frac{17\pi}{6}\) (при \(n=-1\) для знака минус).

Теория:Применим формулы приведения: \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x\) (в квадрате дает \(\cos^2 x\)) и \(\cos(\pi - x) = -\cos x\).Шаг 1.Получаем уравнение: \(2\cos^2 x - \cos x = 0 \iff \cos x(2\cos x - 1) = 0\).Шаг 2.Составим совокупность: 1) \(\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}\); 2) \(\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отберем корни на отрезке \([-2\pi; -0.5\pi]\): из первой серии подходят \(-\frac{3\pi}{2}\) (при \(k=-2\)) и \(-\frac{\pi}{2}\) (при \(k=-1\)). Из второй серии подходит только \(x = -\frac{5\pi}{3}\) (при \(n=-1\) для знака плюс).

Теория:Учтем чётность косинуса \(\cos(-x) = \cos x\) и выразим косинус двойного угла: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\).Шаг 1.Получаем квадратное уравнение относительно косинуса: \(2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\). Пусть \(t = \cos x\), тогда \(2t^2 + t - 1 = 0\).Шаг 2.Корни уравнения: \(t = -1\) и \(t = 0.5\). 1) \(\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k\); 2) \(\cos x = 0.5 \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отбор на отрезке \([-3.5\pi; -2\pi]\): из первой серии подходит \(-3\pi\). Из второй серии подходит \(-\frac{7\pi}{3}\) (при \(n=-1\) для знака минус).

Теория:Уравнение определено при \(x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m, \ m \in \mathbb{Z}\). Введем замену \(t = \operatorname{tg} x\).Шаг 1.Получаем квадратное уравнение: \(\sqrt{3}t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0\). Дискриминант \(D = 16 - 12 = 4\).Шаг 2.Находим корни: \(t = \sqrt{3}\) и \(t = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 1) \(\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k\); 2) \(\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \ k, n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отбор корней на отрезке \([\pi; 2.5\pi]\): из первой серии подходят \(\frac{4\pi}{3}\) и \(\frac{7\pi}{3}\). Из второй серии подходят \(\frac{7\pi}{6}\) и \(\frac{13\pi}{6}\).

Теория:Перенесем слагаемые и сгруппируем: \(\cos x(\cos 2x - 1) - \sqrt{2}\sin^2 x = 0\). Применим формулу \(\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x\).Шаг 1.Получаем: \(-2\cos x \sin^2 x - \sqrt{2}\sin^2 x = 0 \iff -\sin^2 x(2\cos x + \sqrt{2}) = 0\).Шаг 2.Раскладываем на два случая: 1) \(\sin x = 0 \implies x = \pi k\); 2) \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отбор корней на отрезке \([-2.5\pi; -\pi]\): из первой серии подходят \(-2\pi\) и \(-\pi\). Из второй серии подходит \(-\frac{5\pi}{4}\) (при \(n=-1\) для знака плюс).

Теория:Используем тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Перенесем все члены влево.Шаг 1.Получим: \(2\sin x(1 - \sin^2 x) + \sqrt{3}(1 - \sin^2 x) = 0 \iff (1 - \sin^2 x)(2\sin x + \sqrt{3}) = 0\).Шаг 2.Равносильно совокупности: 1) \(\cos^2 x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k\); 2) \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ k, n \in \mathbb{Z}\).Шаг 3.Отбор корней на отрезке \([3.5\pi; 5\pi]\): из первой серии подходят \(\frac{7\pi}{2}\) и \(\frac{9\pi}{2}\). Из второй серии подходит только \(\frac{11\pi}{3}\) (при \(n=2\) для серии \(-\frac{\pi}{3}\)).