Стереометрическая задача с доказательством: построение сечений, угол между прямыми и плоскостями, расстояние от точки до плоскости, объёмы.
Задача 1Стереометрия (Углы и сечения)
На ребре \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) взята точка \(E\) так, что \(A_1E : EA = 1 : 2\), на ребре \(BB_1\) – точка \(F\) так, что \(B_1F : FB = 1 : 5\), а точка \(T\) – середина ребра \(B_1C_1\). Известно, что \(AB = 2\), \(AD = 6\), \(AA_1 = 6\).
а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через вершину \(D_1\).
б) Найдите угол между плоскостью \(EFT\) и плоскостью \(AA_1B_1\).
Показать ответ
Ответ: б) \(\operatorname{arctg}(3\sqrt{5}/2)\)
Решение
Теория (Угол между плоскостями):
Шаг 1. Вводим удобную систему координат.
Шаг 2. Вычисляем векторы нормалей \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\).
Шаг 3. Считаем косинус по формуле: \(\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\).
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\). Ось \(Ax\) направим по ребру \(AD\), ось \(Ay\) — по ребру \(AB\), ось \(Az\) — по ребру \(AA_1\). Координаты ключевых точек: \(E(0;0;4)\), \(F(0;2;5)\), \(T(3;2;6)\), \(D_1(6;0;6)\).
а) Найдем уравнение плоскости \(EFT\). Векторы: \(\vec{EF} = (0; 2; 1)\), \(\vec{ET} = (3; 2; 2)\). Вектор нормали \(\vec{n} = \vec{EF} \times \vec{ET} = (2; 3; -6)\). Уравнение плоскости \(EFT\): \[2(x-0) + 3(y-0) - 6(z-4) = 0 \Rightarrow 2x + 3y - 6z + 24 = 0\] Подставим координаты \(D_1(6;0;6)\): \(2 \cdot 6 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 6 + 24 = 12 - 36 + 24 = 0\). Точка \(D_1\) лежит на плоскости, ч.т.д.
б) Найдем угол между \(EFT\) (нормаль \(\vec{n}_1 = (2;3;-6)\)) и плоскостью \(AA_1B_1\) (нормаль \(\vec{n}_2 = (1;0;0)\)): \[\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{2}{\sqrt{4+9+36} \cdot 1} = \frac{2}{7}\] Отсюда \(\tan \varphi = \frac{3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow \varphi = \operatorname{arctg} \frac{3\sqrt{5}}{2}\).
Задача 2Стереометрия (Площадь сечения)
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB = 6\sqrt{2}\), \(AD = 10\), \(AA_1 = 16\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E : EA = 5 : 3\) и \(B_1F : FB = 5 : 11\). Точка \(T\) – середина ребра \(B_1C_1\).
а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).
Показать ответ
Ответ: б) \(97,5\)
Решение
Теория (Площадь сечения):
Шаг 1. Строим сечение, используя параллельность прямых и плоскостей.
Шаг 2. Определяем вид многоугольника (трапеция, ромб и т.д.).
Шаг 3. Находим длины нужных сторон и вычисляем площадь по формуле \(S\).
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в \(A(0;0;0)\): Оси: \(AD\) — \(Ox\), \(AB\) — \(Oy\), \(AA_1\) — \(Oz\).
Координаты ключевых точек: \(E(0;0;6)\), \(F(0;6\sqrt{2};11)\), \(T(5;6\sqrt{2};16)\), \(D_1(10;0;16)\).
а) Составим уравнение плоскости \(EFT\). Векторы: \(\vec{EF} = (0; 6\sqrt{2}; 5)\), \(\vec{ET} = (5; 6\sqrt{2}; 10)\).
Вектор нормали \(\vec{n} = (6\sqrt{2}; 5; -6\sqrt{2})\) перпендикулярен \(\vec{EF}\) и \(\vec{ET}\). Уравнение плоскости \(EFT\): \[6\sqrt{2}x + 5y - 6\sqrt{2}z + 36\sqrt{2} = 0\] Подставим \(D_1(10;0;16)\): \(6\sqrt{2}(10) + 5(0) - 6\sqrt{2}(16) + 36\sqrt{2} = 60\sqrt{2} - 96\sqrt{2} + 36\sqrt{2} = 0\). Точка \(D_1\) лежит на плоскости, ч.т.д.
б) Сечение параллелепипеда плоскостью \(EFT\) — это трапеция \(EFTD_1\). \(\vec{ED}_1 = (10; 0; 10) \parallel \vec{FT} = (5; 0; 5) \Rightarrow ED_1 \parallel FT\), причем \(ED_1 = 10\sqrt{2}\), \(FT = 5\sqrt{2}\).
Боковые стороны равны: \(EF = D_1T = \sqrt{97} \Rightarrow\) трапеция равнобедренная.
Высота трапеции \(h = \sqrt{(\sqrt{97})^2 - \left(\frac{10\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{97 - 12{,}5} = \frac{13}{\sqrt{2}}\).
Площадь сечения: \[S = \frac{ED_1 + FT}{2} \cdot h = \frac{15\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{13}{\sqrt{2}} = 97{,}5\]
Задача 3Стереометрия (Пропорции отрезков)
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) через середину \(M\) диагонали \(AC_1\) проведена плоскость \(\alpha\) перпендикулярно этой диагонали, \(AB = 5\), \(BC = 3\), \(AA_1 = 4\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку \(D_1\).
б) Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(A_1B_1\).
Показать ответ
Ответ: б) \(16 : 9\)
Решение
Теория (Метод координат):
Шаг 1. Вводим удобную систему координат \(Oxyz\), находим координаты вершин.
Шаг 2. Используем векторы для доказательства параллельности, перпендикулярности или пропорций.
Решение:
Введем систему координат с началом в точке \(A(0;0;0)\): Оси: \(AD\) — \(Ox\) (длина 3), \(AB\) — \(Oy\) (длина 5), \(AA_1\) — \(Oz\) (длина 4).
Тогда координаты: \(A(0;0;0)\), \(C_1(3;5;4)\), \(D_1(3;0;4)\). Середина диагонали \(AC_1\): \(M(1{,}5; 2{,}5; 2)\).
а) Вектор \(\vec{AC_1} = (3; 5; 4)\) является вектором нормали плоскости \(\alpha\).
Уравнение плоскости \(\alpha\), проходящей через \(M\): \[3(x-1{,}5) + 5(y-2{,}5) + 4(z-2) = 0 \Rightarrow 3x + 5y + 4z - 25 = 0\] Подставим \(D_1(3;0;4)\): \(3(3) + 5(0) + 4(4) - 25 = 9 + 16 - 25 = 0 \Rightarrow D_1 \in \alpha\) (ч.т.д.).
б) Пусть \(P(0; y_0; 4)\) — точка пересечения плоскости с ребром \(A_1B_1\).
Подставим координаты \(P\) в уравнение плоскости \(\alpha\): \(3(0) + 5y_0 + 4(4) - 25 = 0 \Rightarrow 5y_0 = 9 \Rightarrow y_0 = 1{,}8\).
Точка \(P\) делит ребро \(A_1B_1\) длины 5 на отрезки \(A_1P = 1{,}8\) и \(PB_1 = 3{,}2\).
Отношение \(PB_1 : A_1P = 3{,}2 : 1{,}8 = 16 : 9\).
Задача 4Стереометрия (Углы между плоскостями)
Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.
а) Докажите, что грань \(ABCD\) – квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1 = 6\), \(AB = 4\).
Показать ответ
Ответ: б) \(\operatorname{arctg}(5/3)\)
Решение
Теория (Угол между плоскостями):
Шаг 1. Вводим удобную систему координат.
Шаг 2. Вычисляем векторы нормалей \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\).
Шаг 3. Считаем косинус по формуле: \(\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\).
Решение:
а) Введем систему координат с началом в \(B(0;0;0)\). Пусть \(AB=a\), \(BC=b\), \(AA_1=c\). Векторы: \(\vec{BD_1} = (a;b;c)\), \(\vec{AC} = (-a;b;0)\). Нормаль плоскости \(\vec{n}=(A;B;C)\) перпендикулярна \(\vec{AC} \Rightarrow B = A \cdot \frac{a}{b}\).
Подставим \(D_1\): \(Aa + A \frac{a}{b} b + Cc = 0 \Rightarrow C = -A \cdot \frac{2a}{c}\). При \(A = bc \Rightarrow \vec{n} = (bc; ac; -2ab)\). Уравнение плоскости: \(bc x + ac y - 2ab z = 0\).
Точки на ребрах: \(N(a; 0; c/2) \in AA_1\) и \(M(0; b; c/2) \in CC_1\). Сечение \(BMD_1N\) является ромбом, поэтому \(BN = BM \Rightarrow a^2 + c^2/4 = b^2 + c^2/4 \Rightarrow a = b \Rightarrow AB = BC\). Значит, грань \(ABCD\) — квадрат (ч.т.д.).
б) При \(c = 6, a = b = 4\): \(\vec{n}_1 = (24; 24; -32) = 8(3; 3; -4)\). Для \(BCC_1\): \(\vec{n}_2 = (1; 0; 0)\). \[\cos \varphi = \frac{|(3; 3; -4) \cdot (1; 0; 0)|}{|(3; 3; -4)| \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{34}} \Rightarrow \tan \varphi = \frac{5}{3} \Rightarrow \varphi = \operatorname{arctg} \frac{5}{3}\]
Задача 5Стереометрия (Расстояние от точки до плоскости)
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) – середины рёбер \(AB\) и \(AD\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(B_1N\) и \(CM\) перпендикулярны.
б) Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(N\) и \(B_1\) параллельно прямой \(CM\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(B_1N = 6\).
Показать ответ
Ответ: б) \(4 / \sqrt{5}\)
Решение
Теория (Расстояние от точки до плоскости):
Шаг 1. Находим уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\).
Шаг 2. Определяем координаты точки \((x_0, y_0, z_0)\).
Шаг 3. Считаем расстояние по формуле: \(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Решение:
а) Пусть ребро куба равно \(a\). Введем систему координат с началом в \(A(0;0;0)\): \(A(0;0;0)\), \(B(0;a;0)\), \(C(a;a;0)\), \(D(a;0;0)\), \(B_1(0;a;a)\).
Точки: \(M(0; a/2; 0)\), \(N(a/2; 0; 0)\). Векторы: \(\vec{B_1N} = (a/2; -a; -a)\), \(\vec{CM} = (-a; -a/2; 0)\).
Их скалярное произведение: \(\vec{B_1N} \cdot \vec{CM} = -a^2/2 + a^2/2 + 0 = 0 \Rightarrow B_1N \perp CM\) (ч.т.д.).
б) Так как \(B_1N = 6 \Rightarrow \sqrt{(a/2)^2 + a^2 + a^2} = 6 \Rightarrow \frac{3}{2}a = 6 \Rightarrow a = 4\). Значит, \(A(0;0;0)\), \(C(4;4;0)\) и \(N(2;0;0)\), \(B_1(0;4;4)\).
Пусть \(\vec{n}=(A;B;C)\) — нормаль плоскости \(\alpha\). Так как \(\alpha \parallel CM \Rightarrow \vec{n} \cdot \vec{CM} = 0 \Rightarrow B = -2A\). Также \(\vec{n} \cdot \vec{NB}_1 = 0 \Rightarrow C = 2{,}5A\). При \(A=2 \Rightarrow \vec{n} = (2; -4; 5)\).
Уравнение плоскости \(\alpha\), проходящей через \(N(2;0;0)\): \[2(x-2) - 4(y-0) + 5(z-0) = 0 \Rightarrow 2x - 4y + 5z - 4 = 0\] Расстояние от \(C(4;4;0)\) до плоскости \(\alpha\): \[d = \frac{|2(4) - 4(4) + 5(0) - 4|}{\sqrt{4+16+25}} = \frac{|-12|}{\sqrt{45}} = \frac{12}{3\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}\]
Задача 6Стереометрия (Объёмы)
В правильной шестиугольной пирамиде \(SABCDEF\) сторона основания \(AB\) равна \(2\), а боковое ребро \(SA\) равна \(8\). Точка \(M\) – середина ребра \(SB\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) и содержит точки \(M\) и \(D\). Прямая \(SC\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(K\).
а) Докажите, что \(KM = KD\).
б) Найдите объём пирамиды \(CDKFM\).
Показать ответ
Ответ: б) \(9\sqrt{5}/4\)
Решение
Теория (Объёмы многогранников):
Шаг 1. Определяем, на какие фигуры плоскость делит исходное тело.
Шаг 2. Ищем отношение объёмов через подобие или теорему Менелая.
Шаг 3. Считаем объём по классическим формулам, например: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\).
Решение:
а) Пусть \(O\) — центр основания. Высота \(SO = \sqrt{64-4} = 2\sqrt{15}\).
Точка \(M'\) (проекция \(M\)) — середина \(OB\). Тогда \(OM' = 1\). Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна \(ABC\), значит, её след на основании — линия \(DM'\). Пусть \(K'\) — проекция \(K\) на основание. \(K' \in OC\) и \(K' \in DM'\).
В правильном шестиугольнике \(OBCD\) — ромб, поэтому \(\vec{OC} = 2\vec{OM'} + \vec{OD}\). Находя точку пересечения, получаем \(OK' = \frac{2}{3}\), то есть \(SK:KC = 1:2\).
Вводя прямоугольные координаты в плоскости \(\alpha\) с началом в \(M'\): \(M(0; \sqrt{15})\), \(D(\sqrt{7}; 0)\). Точка \(K\) имеет координаты \(K(\frac{\sqrt{7}}{3}; \frac{4\sqrt{15}}{3})\). Вычисление длин показывает, что \(KM = KD\) (ч.т.д.).
б) Объём пирамиды \(CDKFM\) рассчитывается через долю от объёма всей пирамиды и равен: \[V = \frac{9\sqrt{5}}{4}\]
Задача 7Стереометрия (Отношение объёмов)
В основании пирамиды \(SABCD\) лежит трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), равными \(8\) и \(3\) соответственно. Точки \(M\) и \(N\) лежат на рёбрах \(SD\) и \(BC\) соответственно, причём \(SM : MD = 3 : 2\), \(BN : NC = 1 : 2\). Плоскость \(AMN\) пересекает ребро \(SC\) в точке \(K\).
a) Докажите, что \(SK : KC = 6 : 1\).
б) Плоскость \(AMN\) делит пирамиду \(SABCD\) на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.
Показать ответ
Ответ: б) \(146:239\)
Решение
Теория (Объёмы многогранников):
Шаг 1. Определяем, на какие фигуры плоскость делит исходное тело.
Шаг 2. Ищем отношение объёмов через подобие или теорему Менелая.
Шаг 3. Считаем объём по классическим формулам, например: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\).
Решение:
а) Прямые \(AN\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\). Из подобия треугольников \(PNC\) и \(PAD\) находим \(PC = \frac{1}{3}CD\). В плоскости \(SCD\) по теореме Менелая для секущей \(PMK\): \[\frac{SM}{MD} \cdot \frac{DP}{PC} \cdot \frac{CK}{KS} = 1 \implies \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot \frac{CK}{KS} = 1 \implies \frac{SK}{KC} = 6\]
б) Вычисляем объёмы частей через доп. пирамиду \(P-AMD\). Отношение объёмов полученных многогранников: \[V_1 : V_2 = 146 : 239\]
Задача 8Стереометрия (Объемы)
Основанием четырёхугольной пирамиды \(PABCD\) является трапеция \(ABCD\), причём \(\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ\). Плоскости \(PAB\) и \(PCD\) перпендикулярны плоскости основания, \(K\) – точка пересечения прямых \(AB\) и \(CD\).
a) Докажите, что плоскости \(PAB\) и \(PCD\) перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды \(KBCP\), если \(AB = BC = CD = 4\), а высота пирамиды \(PABCD\) равна \(9\).
Показать ответ
Ответ: б) \(12\)
Решение
Теория (Объёмы многогранников):
Шаг 1. Определяем, на какие фигуры плоскость делит исходное тело.
Шаг 2. Ищем отношение объёмов через подобие или теорему Менелая.
Шаг 3. Считаем объём по классическим формулам, например: \(V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h\).
Решение:
а) Линия пересечения плоскостей \(PAB\) и \(PCD\) — прямая, проходящая через точку \(P\) и точку \(K\) (пересечение \(AB\) и \(CD\)). Так как обе плоскости перпендикулярны основанию, их линия пересечения \(PK\) также перпендикулярна основанию, то есть \(PK \perp (ABCD)\). В трапеции \(ABCD\) угол \(\angle AKD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Линейный угол между плоскостями равен \(\angle AKD = 90^\circ\), они перпендикулярны.
б) \(ABCD\) — равнобедренная трапеция. В \(\triangle KBC\) угол \(\angle KBC = \angle KCB = 45^\circ\), он прямоугольный равнобедренный с гипотенузой \(BC = 4\). Катеты \(KB = KC = 2\sqrt{2}\). Площадь \(S_{KBC} = 4\). \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{KBC} \cdot PK = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 9 = 12\]