Задание на действия с векторами: сумма и разность, умножение на число, длина вектора, скалярное произведение и угол между векторами — по рисунку на клетчатой бумаге или по координатам.
Задача 1Скалярное произведение
Даны векторы \(\vec{a}(-13; 4)\) и \(\vec{b}(-6; 1)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 82
Решение
Теория: Скалярное произведение двух векторов на координатной плоскости равно сумме произведений их соответствующих координат. Формула: \(\vec{a}(x_1; y_1) \cdot \vec{b}(x_2; y_2) = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\). Шаг 1. Выпишем координаты заданных векторов: \(x_a = -13\), \(y_a = 4\) и \(x_b = -6\), \(y_b = 1\). Шаг 2. Подставим их в формулу: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-13) \cdot (-6) + 4 \cdot 1\). Шаг 3. Выполним умножение и сложение: \(78 + 4 = 82\).
Задача 2Длина вектора
Даны векторы \(\vec{a}(25; 0)\) и \(\vec{b}(1; -5)\). Найдите длину вектора \(\vec{a} - 4\vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 29
Решение
Теория: Линейные операции с векторами (вычитание, умножение на число) выполняются покомпонентно. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Формула: Длина вектора \(\vec{c}(x; y)\) равна \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Шаг 1. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} - 4\vec{b}\). Координата \(x = 25 - 4 \cdot 1 = 21\). Координата \(y = 0 - 4 \cdot (-5) = 20\). Шаг 2. Вычислим длину полученного вектора \(\vec{c}(21; 20)\). Подставляем в формулу длины: \(|\vec{c}| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841}\). Корень из 841 равен 29.
Задача 3Действия с векторами
Даны векторы \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(2; -4)\). Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(7\vec{a} - \vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 15
Решение
Теория: Сначала выполняются линейные операции с векторами для получения новых векторов, а затем вычисляется их скалярное произведение по стандартной формуле. Шаг 1. Найдем вектор \(\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}\). Складываем: \(x = 2 + 2 = 4\), \(y = 1 + (-4) = -3\). Получили \(\vec{u}(4; -3)\). Шаг 2. Найдем вектор \(\vec{v} = 7\vec{a} - \vec{b}\). Считаем: \(x = 7 \cdot 2 - 2 = 12\), \(y = 7 \cdot 1 - (-4) = 11\). Получили \(\vec{v}(12; 11)\). Шаг 3. Вычислим скалярное произведение \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). Применяем формулу: \(4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15\).
Задача 4Векторы на плоскости
На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \(\vec{a} + 4\vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 11
Решение
Теория: Координаты вектора на координатной плоскости определяются по клеткам: на сколько клеток вектор смещается по оси X и оси Y от начала к концу. Формула: \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Шаг 1. Найдем координаты векторов по рисунку. Вектор \(\vec{a}\) сдвигается на 3 клетки вправо и 4 вверх, значит \(\vec{a}(3; 4)\). Вектор \(\vec{b}\) сдвигается на 2 клетки вправо и 1 вниз, значит \(\vec{b}(2; -1)\). Шаг 2. Вычислим вектор \(\vec{c} = \vec{a} + 4\vec{b}\). По оси \(x\): \(3 + 4 \cdot 2 = 11\). По оси \(y\): \(4 + 4 \cdot (-1) = 0\). Вектор \(\vec{c}(11; 0)\). Шаг 3. Найдем его длину: \(|\vec{c}| = \sqrt{11^2 + 0^2} = 11\).
Задача 5Угол между векторами
Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны 3 и 5, а угол между ними равен \(60^{\circ}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 7.5
Решение
Теория: Геометрическое определение скалярного произведения: оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Формула: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\). Шаг 1. Выпишем известные величины: длины векторов \(|\vec{a}| = 3\) и \(|\vec{b}| = 5\), угол \(\alpha = 60^{\circ}\). Шаг 2. Вспомним табличное значение тригонометрической функции: \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\) (или \(\frac{1}{2}\)). Шаг 3. Подставим все значения в формулу: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot 0,5 = 15 \cdot 0,5 = 7,5\).
Задача 6Скалярное произведение
Даны векторы \(\vec{a}(14; -2)\) и \(\vec{b}(5; -8)\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 86
Решение
Теория: Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов. Формула: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\). Шаг 1. У нас есть векторы \(\vec{a}(14; -2)\) и \(\vec{b}(5; -8)\). Шаг 2. Подставим их координаты в формулу: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 14 \cdot 5 + (-2) \cdot (-8)\). Шаг 3. Выполним вычисления: \(70 + 16 = 86\).
Задача 7Длина вектора
Даны векторы \(\vec{a}(1; 1)\) и \(\vec{b}(0; 7)\). Найдите длину вектора \(8\vec{a} + \vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 17
Решение
Теория: Алгебраические операции с векторами выполняются с их координатами. Длина вектора находится по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов координат. Формула: \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Шаг 1. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = 8\vec{a} + \vec{b}\). Для координаты \(x\): \(8 \cdot 1 + 0 = 8\). Для координаты \(y\): \(8 \cdot 1 + 7 = 15\). Шаг 2. Подставим координаты вектора \(\vec{c}(8; 15)\) в формулу длины. Получаем: \(|\vec{c}| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\). Корень равен 17.
Задача 8Векторы на плоскости
На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \(\vec{a} + 3\vec{b}\).
Показать ответ
Ответ: 8
Решение
Теория: Для нахождения длины сложного вектора сначала нужно определить координаты исходных векторов по графику, а затем применить формулу длины. Формула: \(|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Шаг 1. Определим координаты по клеткам. Конец вектора \(\vec{a}\) находится правее начала на 2 клетки и выше на 3, следовательно \(\vec{a}(2; 3)\). Конец вектора \(\vec{b}\) правее на 2 клетки и ниже на 1, следовательно \(\vec{b}(2; -1)\). Шаг 2. Найдем вектор \(\vec{c} = \vec{a} + 3\vec{b}\). Вычисляем \(x\): \(2 + 3 \cdot 2 = 8\). Вычисляем \(y\): \(3 + 3 \cdot (-1) = 0\). Итого \(\vec{c}(8; 0)\). Шаг 3. Его длина равна \(\sqrt{8^2 + 0^2} = 8\).