Задание 8 ЕГЭ профиль по математике — вычисления и преобразования выражений: степени, корни, логарифмы, тригонометрия

Теория:Для упрощения выражений со степенями приведем все множители к общему основанию.Формула:\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) и \(a^n : a^m = a^{n-m}\). Шаг 1.Приведем числа к основанию 2: \(64 = 2^6\), \(16 = 2^4\). Шаг 2.Возведем в степени: \(((2^6)^9)^3 = 2^{162}\) и \(((2^4)^5)^8 = 2^{160}\). Шаг 3.Выполним деление: \(2^{162} : 2^{160} = 2^{162-160} = 2^2 = 4\).

Теория:При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель.Формула:\((a\sqrt{b})^2 = a^2 \cdot b\). Шаг 1.Возведем числитель в квадрат: \(3^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 9 \cdot 8 = 72\). Шаг 2.Разделим результат на знаменатель: \(72 : 6 = 12\).

Теория:Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения их аргументов.Формула:\(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\). Шаг 1.Объединим: \(\log_2 (6,4 \cdot 10) = \log_2 64\). Шаг 2.Так как \(2^6 = 64\), итоговое значение равно 6.

Теория:Для решения задачи необходимо подставить стандартные табличные значения тригонометрических функций.Шаг 1.Значения: \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1\) и \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Шаг 2.Вычисляем: \(18\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 \cdot \frac{2}{2} = 18\).

Теория:Для упрощения выражений со степенями приведем все множители к общему основанию.Формула:\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) и \(a^n : a^m = a^{n-m}\). Шаг 1.Выполним возведение в степень в числителе: \((4^{15})^5 = 4^{75}\). Шаг 2.Выполним деление, вычитая показатели: \(4^{75} : 4^{73} = 4^{75-73} = 4^2 = 16\).

Теория:При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель.Формула:\((a\sqrt{b})^2 = a^2 \cdot b\). Шаг 1.Возведем числитель в квадрат: \(5^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150\). Шаг 2.Разделим результат на знаменатель: \(150 : 10 = 15\).

Теория:Разность логарифмов по одному основанию равна логарифму частного их аргументов.Формула:\(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\). Шаг 1.Преобразуем: \(\log_{0,7} \frac{10}{7}\). Шаг 2.Заметим, что \(0,7 = \frac{7}{10}\). Шаг 3.Так как аргумент обратен основанию, степень равна -1.

Теория:Используем формулу синуса двойного угла и формулу приведения для замены функции.Формула:\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\) и \(\sin \alpha = \cos(90^{\circ}-\alpha)\). Шаг 1.Разложим синус в числителе: \(2 \cdot (2\sin 68^{\circ} \cos 68^{\circ}) = 4\sin 68^{\circ} \cos 68^{\circ}\). Шаг 2.В знаменателе \(\sin 22^{\circ} = \cos 68^{\circ}\). Шаг 3.Сокращаем дробь: \(\frac{4\sin 68^{\circ} \cos 68^{\circ}}{\sin 68^{\circ} \cos 68^{\circ}} = 4\).